高中数学必修二体积计算，高中数学必修二体积计算题及答案

大家好，今天小编关注到一个比较有意思的话题，就是关于高中数学必修二体积计算的问题，于是小编就整理了3个相关介绍高中数学必修二体积计算的解答，让我们一起看看吧。

1. 球的体积公式是怎么推导出来的？
2. 圆的体积怎么算？
3. 怎么计算溶液的浓度跟体积，公式是什么？

球的体积公式是怎么推导出来的？

要想解决这个问题，需要以下几个步骤

祖暅原理

“两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，原文是“幂势既同，则积不容异”，在西方被称为卡瓦列利原理。

就好比图中的这三个几何体，与底面等距离处的截面积都相等，这三个几何体体积是相等的。祖暅也叫做祖暅之，是祖冲之的儿子。祖冲之父子在数学上均有很大的成就。

牟合方盖

我国古代数学家刘徽、祖冲之父子通过牟合方盖这种工具对球的体积进行推导。所谓的

牟合方盖其实就是立方体被两个直径是立方体边长的圆柱体所截所得的一个图形。正如下方的动图一样。从上方看的视图是正方形，沿着两个圆柱体的方向看视图是圆形。

牟合方盖的体积

学过解析几何的同学都知道，平面直角坐标系分四个象限，立体坐标系分为八个卦限。象限和卦限是按照我国传统文化来翻译的，也就是易经中说的四象、八卦的意思。

牟合方盖被坐标轴分为8个对称的部分，取第一卦限的部分进行研究。

结合勾股定理以及祖暅原理，可以知道左边的牟合方盖（八分之一）的体积等于右边的立方体挖去一个与其等底等高锥体之后剩余部分的体积，于是牟合方盖（八分之一）的体体积等于2/3r^3，整个牟合方盖的体积为16/3r^3

将牟合方盖的体积转化为球的体积

取球体的第一卦限的部分（1/8球）研究。可以发现在任意高度的位置上，球体截面积与牟合方盖截面积与的比是π /4。所以球的体积是4/3π r^3

我没记错，就是由表面积积分得到体积！表面积是4πr²，求积分就是4/3了。其实也好理解。面积的积分是体积！建立一个空间直角坐标系，z取值范围是(-r,r），且每一个z值对应一个此处的圆面积，将这些圆面积加起来，取极限，就是球的体积。中间过程需要用到三角换元，详细过程数分课本有，网上也有，自己也能推出来。

最早的计算方法是祖冲之与他的儿子祖恒提出的按“祖恒原理”,“幂势既同则积不容异”,(等高处横截面积都相等的两个几何体的体积必相等)的算法.

微积分方法是最简单的方法.以球的球心为出发点,把球沿经纬方向切成微小的底面为正方形的小锥体,小锥体体积等于3分之一高乘底面积.高等于半径,底的一边长等于半径乘经度方向的夹角,另一边长等于半径乘纬度方向的夹角.把这些小锥体体积加起来(积分)就是球形体积.

谢谢邀请、由本学渣科普一下公式吧。

V=4πr^3/3

S=4πr^2

r^2表示r的平方

体积推导：

以球的一条直径为轴;球心置于坐标原点;所选直径与Z轴重合.则轴上在距球心z处与轴垂直的截面圆半径为r=√(R^2-z^2).其面积为π·r^2=π·(R^2-z^2).

则以它为底,以dz为高的圆柱形微元体积为 π·(R^2-z^2)dz.

则圆球的体积公式为∫(从-R到R)π·(R^2-z^2)dz

=π·R^2(R-(-R))-π·(1/3)·(2R^3)

=(4/3)π·R^3

表面积推导：

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。

以x为积分变量，积分限是[－R，R]。

在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

圆的体积怎么算？

圆没有体积，只有面积。

首先圆是一个二维空间的物体，只能说是一个面，只能计算面积，球才是个 三维空间的物体。是立体的图形，才能说是体积。园的面积计算公式为: S1=圆周率×r的平方。字母可以表示为: S= πr²或S=π (d/2)²。(Π表示圆周率，r表示半径，d表示直径)球的体积计算公式为: V=4/3π×半径的三次方。

【拓展资料】

圆是指在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，标准方程是（x-a)²+（y-b)²=r²，其中点(a,b)是圆心，r是半径。

圆是一种几何图形，也是一种轴对称、中心对称图形。同时，圆又是“正无限多边形”，当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。由于“无限”是一个概念，所以世界上没有真正的圆，只有一种概念性的图形。

怎么计算溶液的浓度跟体积，公式是什么？

一、用液体试剂配制： 根据稀释前后溶质质量相等原理得公式： ω1ρ1 V1= ω2ρ2 V2 ω1：稀释浓度ρ1 ：密度V1：欲配溶液体积 ω2：浓溶液浓度ρ2：密度V2：需用浓溶液体积 例：要配制20%的硫酸溶液1000ml，需要96%的浓硫酸多少毫升？

查表知：20%时ρ1 =1.139g/ml；96%时ρ2=1.836g/ml 代入公式： 20%×1.139×1000=96%×1.836×V2 V2=0.2 ×1.139×1000/0.96 ×1.836=129ml 二、物质的量浓度溶液的配制 1、根据稀释前后溶质的量相等原则得公式： C1V1=C2V2 C1: 稀释前的浓度 V1：稀释前体积 C2：稀释后的浓度 V2：稀释后体积 例：用18mol/L的浓硫酸配制500ml，3mol/L的稀硫酸， 需要浓硫酸多少毫升？

代入公式： C1V1=C2V2=18mol/L× V1=3mol/L× 500ml V1= 3mol/L× 500ml/18mol/L=83.3ml 取83.3ml18mol/L的硫酸，在不断搅拌下倒入适量水中， 冷却后稀释至500ml。 2、用液体试剂配制 公式：V1×d×a%=C×V×M/1000 例：欲配制2.0mol/L的硫酸溶液500ml，应量 取重量百分浓度为98%，d=1.84g/ml的硫酸多 少毫升？ M硫酸=98.07g/mol 代入公式： V1×1.84×98%=2.0×500×98.07/1000 V1=2.0×500×98.07/1000/1.84×98%=54ml

一、用液体试剂配制：

根据稀释前后溶质质量相等原理得公式：

ω1ρ1 V1= ω2ρ2 V2

ω1：稀释浓度ρ1 ：密度V1：欲配溶液体积

ω2：浓溶液浓度ρ2：密度V2：需用浓溶液体积

例：要配制20%的硫酸溶液1000ml，需要96%的浓硫酸多少毫升？

查表知：20%时ρ1 =1.139g/ml；96%时ρ2=1.836g/ml

代入公式：

20%×1.139×1000=96%×1.836×V2

V2=0.2 ×1.139×1000/0.96 ×1.836=129ml

二、物质的量浓度溶液的配制

1、根据稀释前后溶质的量相等原则得公式：

C1V1=C2V2

C1: 稀释前的浓度 V1：稀释前体积

C2：稀释后的浓度 V2：稀释后体积

例：用18mol/L的浓硫酸配制500ml，3mol/L的稀硫酸，

需要浓硫酸多少毫升？

代入公式：

C1V1=C2V2=18mol/L× V1=3mol/L× 500ml

V1= 3mol/L× 500ml/18mol/L=83.3ml

取83.3ml18mol/L的硫酸，在不断搅拌下倒入适量水中，

冷却后稀释至500ml。

2、用液体试剂配制

公式：V1×d×a%=C×V×M/1000

例：欲配制2.0mol/L的硫酸溶液500ml，应量

取重量百分浓度为98%，d=1.84g/ml的硫酸多

少毫升？ M硫酸=98.07g/mol

代入公式：

V1×1.84×98%=2.0×500×98.07/1000

V1=2.0×500×98.07/1000/1.84×98%=54ml

到此，以上就是小编对于高中数学必修二体积计算的问题就介绍到这了，希望介绍关于高中数学必修二体积计算的3点解答对大家有用。