高中数学必修2球的体积，高中数学球的体积公式

大家好，今天小编关注到一个比较有意思的话题，就是关于高中数学必修2球的体积的问题，于是小编就整理了4个相关介绍高中数学必修2球的体积的解答，让我们一起看看吧。

1. 圆锥与球的体积关系？
2. 球的体积公式是怎么推导出来的？
3. 怎样求出球的表面积和体积？
4. 球体体积计算公式？

圆锥与球的体积关系？

圆锥是底面积x高x1/3即1/3πr^2h

球的体积是4/3πr^3

其中r是球的半径

V=(4/3)πr^3

三分之四乘圆周率乘半径的三次方

把圆锥沿高分成k分

每份高 h/k,

第 n份半径：n*r/k

第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2

第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3

因为

1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6

所以

总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3

=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3

=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6

因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0

所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3

因为V柱=pi*h*r^2

所以

V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3

球的体积公式是怎么推导出来的？

要想解决这个问题，需要以下几个步骤

祖暅原理

“两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，原文是“幂势既同，则积不容异”，在西方被称为卡瓦列利原理。

就好比图中的这三个几何体，与底面等距离处的截面积都相等，这三个几何体体积是相等的。祖暅也叫做祖暅之，是祖冲之的儿子。祖冲之父子在数学上均有很大的成就。

牟合方盖

我国古代数学家刘徽、祖冲之父子通过牟合方盖这种工具对球的体积进行推导。所谓的

牟合方盖其实就是立方体被两个直径是立方体边长的圆柱体所截所得的一个图形。正如下方的动图一样。从上方看的视图是正方形，沿着两个圆柱体的方向看视图是圆形。

牟合方盖的体积

学过解析几何的同学都知道，平面直角坐标系分四个象限，立体坐标系分为八个卦限。象限和卦限是按照我国传统文化来翻译的，也就是易经中说的四象、八卦的意思。

牟合方盖被坐标轴分为8个对称的部分，取第一卦限的部分进行研究。

结合勾股定理以及祖暅原理，可以知道左边的牟合方盖（八分之一）的体积等于右边的立方体挖去一个与其等底等高锥体之后剩余部分的体积，于是牟合方盖（八分之一）的体体积等于2/3r^3，整个牟合方盖的体积为16/3r^3

将牟合方盖的体积转化为球的体积

取球体的第一卦限的部分（1/8球）研究。可以发现在任意高度的位置上，球体截面积与牟合方盖截面积与的比是π /4。所以球的体积是4/3π r^3

我没记错，就是由表面积积分得到体积！表面积是4πr²，求积分就是4/3了。其实也好理解。面积的积分是体积！建立一个空间直角坐标系，z取值范围是(-r,r），且每一个z值对应一个此处的圆面积，将这些圆面积加起来，取极限，就是球的体积。中间过程需要用到三角换元，详细过程数分课本有，网上也有，自己也能推出来。

最早的计算方法是祖冲之与他的儿子祖恒提出的按“祖恒原理”,“幂势既同则积不容异”,(等高处横截面积都相等的两个几何体的体积必相等)的算法.

微积分方法是最简单的方法.以球的球心为出发点,把球沿经纬方向切成微小的底面为正方形的小锥体,小锥体体积等于3分之一高乘底面积.高等于半径,底的一边长等于半径乘经度方向的夹角,另一边长等于半径乘纬度方向的夹角.把这些小锥体体积加起来(积分)就是球形体积.

谢谢邀请、由本学渣科普一下公式吧。

V=4πr^3/3

S=4πr^2

r^2表示r的平方

体积推导：

以球的一条直径为轴;球心置于坐标原点;所选直径与Z轴重合.则轴上在距球心z处与轴垂直的截面圆半径为r=√(R^2-z^2).其面积为π·r^2=π·(R^2-z^2).

则以它为底,以dz为高的圆柱形微元体积为 π·(R^2-z^2)dz.

则圆球的体积公式为∫(从-R到R)π·(R^2-z^2)dz

=π·R^2(R-(-R))-π·(1/3)·(2R^3)

=(4/3)π·R^3

表面积推导：

让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。

以x为积分变量，积分限是[－R，R]。

在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。

所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR

怎样求出球的表面积和体积？

1 相关数学公式球体表面积公式：S=4πr²=πD²球体体积公式：

2 算法分析：计算表面积和体积，均依赖球体半径。 所以需要先输入球体半径，然后根据公式计算出球体表面积和体积。最终输出。

3 代码：

4 注意事项：1） π值定义影响结果，需要根据精度需求设置π值。2） 定义类型为double时，输入必须使用%lf，输出推荐使用%lf。

球体体积计算公式？

球体的体积计算公式：V=(4/3)πr^3。

　　把圆柱中心取出去一个高度相等底面面积相同的圆椎，该圆柱的底面半径R高为R。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等，等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好球，就是半球体积了。V=(2/3)πR^3 ，因此一个整球的体积为(4/3)πR^3

到此，以上就是小编对于高中数学必修2球的体积的问题就介绍到这了，希望介绍关于高中数学必修2球的体积的4点解答对大家有用。